Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與拋物線y=mx2+nx相交于A（1，3 ），B（4，0）兩點(diǎn)．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作PM∥OA，交第一象限內(nèi)的拋物線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN ， 求出 的值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（1，3 ），B（4，0）在拋物線y=mx2+nx的圖象上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+4 x

（2）

解：存在三個(gè)點(diǎn)滿足題意，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)D在x軸上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵A（1，3 ），

∴D坐標(biāo)為（1，0）；

當(dāng)點(diǎn)D在y軸上時(shí)，設(shè)D（0，d），則AD2=1+（3 ﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3 ）2=36，

∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，

∴AD2+BD2=AB2，即1+（3 ﹣d）2+42+d2=36，解得d= ，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ）或（0， ）；

綜上可知存在滿足條件的D點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0）或（0， ）或（0， ）；

（3）

解：如圖2，過(guò)P作PF⊥CM于點(diǎn)F，

∵PM∥OA，

∴Rt△ADO∽R(shí)t△MFP，

∴ =3 ，

∴MF=3 PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=3 ，

∴tan∠ABD= ，

∴∠ABD=60°，設(shè)BC=a，則CN= a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，

∴tan∠PNF= = ，

∴FN= PF，

∴MN=MF+FN=4 PF，

∵S△BCN=2S△PMN，

∴ a2=2× ×4 PF2，

∴a=2 PF，

∴NC= a=2 PF，

∴ = ，

∴MN= NC= × a= a，

∴MC=MN+NC=（ + ）a，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（4﹣a，（ + ）a），

又M點(diǎn)在拋物線上，代入可得﹣ （4﹣a）2+4 （4﹣a）=（ + ）a，

解得a=3﹣ 或a=0（舍去），

OC=4﹣a= +1，MC=2 + ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ +1，2 + ）．

【解析】（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
　　　　（2）分D在x軸上和y軸上，當(dāng)D在x軸上時(shí)，過(guò)A作AD⊥x軸，垂足D即為所求；當(dāng)D點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，d），可分別表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到關(guān)于d的方程，可求得d的值，從而可求得滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)；
　　　　（3）過(guò)P作PF⊥CM于點(diǎn)F，利用Rt△ADO∽R(shí)t△MFP以及三角函數(shù)，可用PF分別表示出MF和NF，從而可表示出MN，設(shè)BC=a，則可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN ， 可用PF表示出a的值，從而可用PF表示出CN，可求得 的值；借助a可表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得a的值，從而可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系及分類討論等．在（2）中注意分點(diǎn)D在x軸和y軸上兩種情況，在（3）中分別利用PF表示出MF和NC是解題的關(guān)鍵，注意構(gòu)造三角形相似．本題涉及知識(shí)點(diǎn)較多，計(jì)算量較大，綜合性較強(qiáng)，特別是第（3）問(wèn)，難度很大．