Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3分別與x軸、y交于點B、C；拋物線y=x2+bx+c經過點B、C，與x軸的另一個交點為點A（點A在點B的左側），對稱軸為l1，頂點為D．

（1）求拋物線y=x2+bx+c的解析式．

（2）點M（0，m）為y軸上一動點，過點M作直線l2平行于x軸，與拋物線交于點P（x1，y1），Q（x2，y2），與直線BC交于點N（x3，y3），且x2＞x1＞0．

①結合函數的圖象，求x3的取值范圍；

②若三個點P、Q、N中恰好有一點是其他兩點所連線段的中點，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）①0＜x3＜4，②m的值為或1．

【解析】

（1）由直線y=﹣x+3分別與x軸、y交于點B、C求得點B、C的坐標，再代入y=x2+bx+c求得b、c的值，即可求得拋物線的解析式；（2）①先求得拋物線的頂點坐標為D（2，﹣1），當直線l2經過點D時求得m=﹣1；當直線l2經過點C時求得m=3，再由x2＞x1＞0，可得﹣1＜y3＜3，即可﹣1＜﹣x3+3＜3，所以0＜x3＜4；②分當直線l2在x軸的下方時，點Q在點P、N之間和當直線l2在x軸的上方時，點N在點P、Q之間兩種情況求m的值即可.

（1）在y=﹣x+3中，令x=0，則y=3；

令y=0，則x=3；得B（3，0），C（0，3），

將點B（3，0），C（0，3）的坐標代入y=x2+bx+c

得：，解得

∴y=x2﹣4x+3；

（2）∵直線l2平行于x軸，

∴y1=y2=y3=m，

①如圖①，y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴頂點為D（2，﹣1），

當直線l2經過點D時，m=﹣1；

當直線l2經過點C時，m=3

∵x2＞x1＞0，

∴﹣1＜y3＜3，

即﹣1＜﹣x3+3＜3，

得0＜x3＜4，

②如圖①，當直線l2在x軸的下方時，點Q在點P、N之間，

若三個點P、Q、N中恰好有一點是其他兩點所連線段的中點，則得PQ=QN．

∵x2＞x1＞0，

∴x3﹣x2=x2﹣x1，

即 x3=2x2﹣x1，

∵l2∥x軸，即PQ∥x軸，

∴點P、Q關于拋物線的對稱軸l1對稱，

又拋物線的對稱軸l1為x=2，

∴2﹣x1=x2﹣2，

即x1=4﹣x2，

∴x3=3x2﹣4，

將點Q（x2，y2）的坐標代入y=x2﹣4x+3

得y2=x22﹣4x2+3，又y2=y3=﹣x3+3

∴x22﹣4x2+3=﹣x3+3，

∴x22﹣4x2=﹣（3x2﹣4）

即 x22﹣x2﹣4=0，解得x2=，（負值已舍去），

∴m=（）2﹣4×+3=

如圖②，當直線l2在x軸的上方時，點N在點P、Q之間，

若三個點P、Q、N中恰好有一點是其他兩點所連線段的中點，則得PN=NQ．

由上可得點P、Q關于直線l1對稱，

∴點N在拋物線的對稱軸l1：x=2，

又點N在直線y=﹣x+3上，

∴y3=﹣2+3=1，即m=1．

故m的值為或1．