Question

在圖中，把一副直角三角板ABC和EFG(其短直角邊長均為4)疊放在一起(如圖①)，且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角板EFG繞點O順時針旋轉(旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°)，四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分(如圖②)．

(1)在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數量關系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論；

(2)聯結HK，在上述旋轉過程中，設BH＝x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在上述旋轉過程中，BH＝CK，四邊形CHGK的面積不變． 　　證明：聯結CG 　　∵△ABC為等腰直角三角形，O(G)為斜邊AB中點， 　　∴CG＝BG，CG⊥AB． 　　∴∠ACG＝∠B＝45o， 　　∵∠BGH與∠CGK均為旋轉角， 　　∴∠BGH＝∠CGK． 　　∴△BGH≌△CGK．　　3分 　　∴BH＝CK，S△BGH＝S△CGK． 　　∴S四邊形CHGK＝S△CHG＋S△CGK＝S△CHG＋S△BGH＝S△ABC＝＝4． 　　即：S四邊形CHGK的面積為4，是一個定值，在旋轉過程中沒有變化．　　4分 　　(2)∵AC＝BC＝4，BH＝x， 　　∴CH＝4－x，CK＝x． 　　由S△GHK＝S四邊形CHGK－S△CHK， 　　得， 　　∴． 　　∵， 　　∴．　　6分 　　(3)不存在． 　　根據題意，得． 　　化簡，得　． 　　∵， 　　∴此方程無實數根． 　　即不存在這樣的位置，使△GKH的面積等于△ABC面積的．　　8分