Question

把一副學生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如圖（1）放置在平面直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，直角邊AC與y軸重合，斜邊AD與y軸重合，直角邊AE交x軸于F，斜邊AB交x軸于G，O是AC中點，AC=8．
（1）把圖1中的Rt△AED繞A點順時針旋轉α度（0≤α＜90°）得圖2，此時△AGH的面積是10，△AHF的面積是8，分別求F、H、B三點的坐標；
（2）如圖3，設∠AHF的平分線和∠AGH的平分線交于點M，∠EFH的平分線和∠FOC的平分線交于點N，當改變α的大小時，∠N+∠M的值是否會改變？若改變，請說明理由；若不改變，請求出其值．

Answer 1

分析：（1）由題意知，OG∥BC，得∠AGO=∠B，從而得OA=OG=4，根據△AFH和△AGH的面積，再求OH，OF的長，即可得F、H、B三點的坐標．
（2）根據角平分線的性質和三角形的內角和，可證當改變α的大小時，∠N+∠M的值不會改變．

解答：解：（1）∵OG∥BC，AC=8，
∴∠B=∠AGO=45°，
∴OA=OG=4．
∵S_△AFH=8，S_△AGH=10，
∴GH=5，FH=4．
∴OH=1，OF=5，
∴F（-5，0），H（-1，0），B（8，-4）．

（2）不變，∠N+∠M=97.5°．
理由如下
設∠HAC=α，∠GAO=∠AGO=45°，
∴∠FHA=∠HAG+∠AGH=90°+α．
∵HM平分∠AHF，
∴∠FHM=

1

2

∠FHA=45°+

1

2

α．
∵GM平分∠AGH，
∴∠HGM=

1

2

∠AGO=22.5°．
∵∠FHM=∠HMG+∠MGH，
∴45°+

1

2

α=∠M+22.5°，
∴∠M=22.5°+

1

2

α．
又FN平分∠EFO，
∴∠NFO=

1

2

∠EFO=

1

2

（∠FOA+∠FAO）
=

1

2

（90°+30°+α）=60°+

1

2

α，
∴∠N=180°-∠NFO-∠NOF
=180°-（60°+

1

2

α）-45°
=75°-

1

2

α．
∴∠N+∠M=（75°-

1

2

α）+（22.5°+

1

2

α）=97.5°．

點評：本題主要考查三角形的內角和、坐標與圖形的性質、平行線的性質、三角形的面積；難點在于看懂已知的圖形，根據已知條件，充分挖掘隱含的條件．此類題學生丟分率較高，需注意．