Question

【題目】(1)如圖①，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.點D是AB邊上任意一點，則CD的最小值為 。

（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.點M、N分別在BD、BC上。求CM+MN的最小值．

（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.點E是AB邊上的一點，且AE=2，點F是BC邊上的任意一點。把△BEF沿EF翻折，點B對應點G,連接AG、CG.四邊形AGCD的面積的最小值是 。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】（1）根據點到直線的距離最小，再用三角形的面積即可得出結論；

（2）先根據軸對稱確定出點M和N的位置，再利用面積求出CF，進而求出CE，最后用三角函數即可求出CM+MN的最小值；

（3）先確定出EG⊥AC時，四邊形AGCD的面積最小，再用銳角三角函數求出點G到AC的距離，最后用面積之和即可得出結論．

（1）如圖①，

過點C作CD⊥AB于D，根據點到直線的距離垂線段最小，此時CD最小，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，根據勾股定理得，AB=5，

∵AC×BC=AB×CD，

∴CD==，

故答案為：；

2）如圖②，

作出點C關于BD的對稱點E，

過點E作EN⊥BC于N，交BD于M，連接CM，此時CM+MN=EN最小；

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，CD=AB=3，根據勾股定理得，BD=5，

∵CE⊥BC，

∴BD×CF=BC×CD，

∴CF==，

由對稱得，CE=2CF=，

在Rt△BCF中，cos∠BCF==，

∴sin∠BCN=，

在Rt△CEN中，EN=CEsin∠BCE==；

即：CM+MN的最小值為；

（3）如圖，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，根據勾股定理得，AC=5，

∵AB=3，AE=2，

∴點F在BC上的任何位置時，點G始終在AC的下方，

設點G到AC的距離為h，

∵S四邊形AGCD=S△ACD+S△ACG=AD×CD+AC×h=×4×3+×5×h=h+6，

∴要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，

∵點G是以點E為圓心，BE=1為半徑的圓上在矩形ABCD內部的一部分點，

∴EG⊥AC時，h最小，

由折疊知∠EGF=∠ABC=90°，

延長EG交AC于H，則EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC=，

在Rt△AEH中，AE=2，sin∠BAC=，

∴EH=，AE=，

∴h=EH-EG=-1=，

∴S四邊形AGCD最小=h+6=×+6=．