Question

（2013•江寧區二模）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數y=-x²-2x+2的圖象與y軸交于點C，以OC為一邊向左側作正方形OCBA．

（1）判斷點B是否在二次函數y=-x²-2x+2的圖象上？并說明理由；
（2）用配方法求二次函數y=-x²-2x+2的圖象的對稱軸；
（3）如圖2，把正方形OCBA繞點O順時針旋轉α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°＜α＜90°）．
①當tanα﹦

1

2

時，二次函數y=-x²-2x+2的圖象的對稱軸上是否存在一點P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
②在二次函數y=-x²-2x+2的圖象的對稱軸上是否存在一點P，使△PB₁C₁為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出此時tanα的值；若不存在，請說明理由﹒

Answer 1

分析：（1）令x=0，求出y的值，得到正方形ABCO的邊長，然后寫出點B的坐標，再把橫坐標代入二次函數關系式，計算即可驗證；
（2）根據配方法，先提取-1，然后整理成完全平方公式的形式得到頂點式解析式，再寫出對稱軸即可；
（3）①設旋轉后的正方形OA₁B₁C₁的邊B₁C₁交y軸于點D，二次函數y=-x²-2x+2的圖象的對稱軸交OA₁于點E，交x軸于點F，然后分（i）點B₁為直角頂點時，根據tanα=

1

2

求出EF，再利用勾股定理列式求出OE，然后求出A₁E，再根據Rt△EFO和Rt△EA₁P₁相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出P₁E，然后求出P₁F，即可得到點P的坐標；（ii）點C₁為直角頂點時，根據同角的余角相等求出∠P₃=∠EOF，再根據正切值求出P₃F，即可得到點P的坐標；（iii）B₁C₁為斜邊時，以B₁C₁為直徑的圓與對稱軸的交點即為所求，求出∠AOA₁=∠C₁OD，再根據α的正切值求出C₁D=1，得到點D是B₁C₁的中點，再求出以B₁C₁為直徑的圓與對稱軸的交點只有一個P₂，然后利用勾股定理列式求出OD的長，即可得到點P的坐標；
②根據正方形的性質，點A₁落在對稱軸上時，點A₁即為所求的點P，利用勾股定理求出P₁F，然后根據銳角的正切的定義寫出即可；點P為A₁B₁的延長線與對稱軸的交點時，由Rt△P₂A₁E和Rt△OFE相似，利用相似三角形對應邊成比例求出A₁E=4EF，設再用EF表示出OE，在Rt△OEF中，利用勾股定理列出方程求出EF的長，再根據銳角的正切的定義列式即可得解．

解答：解：（1）令x=0，y=2，
∴正方形的邊長為2，
∴由題意得點B的坐標為（-2，2），
把x=-2代入二次函數關系式y=-x²-2x+2中，得y=2，
所以點B在二次函數y=-x²-2x+2的圖象上；

（2）y=-x²-2x+2=-（x²+2x-2）=-（x+1）²+3，
所以，二次函數y=-x²-2x+2的圖象的對稱軸直線x=-1；

（3）①存在．
設旋轉后的正方形OA₁B₁C₁的邊B₁C₁交y軸于點D，
二次函數y=-x²-2x+2的圖象的對稱軸交OA₁于點E，交x軸于點F，
（i）當點B₁為直角頂點，顯然A₁B₁與對稱軸的交點P₁即為所求，
∵tanα=

EF

OF

=

EF

1

=

1

2

，
∴EF=

1

2

，
根據勾股定理，OE=

EF2+OF2

=

( 1 2 )2+12

=

5

2

，
∴A₁E=2-

5

2

，
由Rt△EFO∽Rt△EA₁P₁，可得

A1E

EF

=

P1E

OE

，
即

2- 5 2

1 2

=

P1E

5 2

，
解得P₁E=2

5

-

5

2

，
∴P₁F=2

5

-

5

2

+

1

2

=2

5

-2，
因此，P₁點坐標為（-1，2

5

-2）；
（ii）當點C₁為直角頂點，顯然射線C₁O與對稱軸的交點P₃即為所求，
∵∠EOF+∠FOP₃=90°，∠FOP₃+∠P₃=90°，
∴∠P₃=∠EOF=α，
tan∠P₃=tanα=

OF

P3F

=

1

P3F

=

1

2

，
解得P₃F=2，
因此，P₃點的坐標為（-1，-2）；
（iii）當B₁C₁為斜邊時，以B₁C₁為直徑的圓與對稱軸的交點即為所求，
由已知，∵∠AOA₁=∠C₁OD，
∴tanα﹦

C1D

OC1

=

1

2

，
∴C₁D=

1

2

OC₁=1，即點D是B₁C₁的中點，
∵B₁C₁的中點D到對稱軸的距離恰好等于1，
∴以B₁C₁為直徑的圓與對稱軸的交點只有一個P₂，
根據勾股定理，OD=

OC12+C1D2

=

22+12

=

5

，
因此，P₂點的坐標為（-1，

5

），
故滿足題設條件的P點有三個：P₁（-1，2

5

-2），P₂（-1，

5

），P₃（-1，-2）；


②存在．
如圖1，點A₁落在對稱軸上時，根據勾股定理，P₁F=

22-12

=

3

，
tanα=

P1F

OF

=

3

1

=

3

；
如圖2，點P為A₁B₁的延長線與對稱軸的交點時，
∵△PB₁C₁為等腰直角三角形，
∴P₂B₁=B₁C₁=2，
∴A₁P₂=2+2=4，
易得，Rt△P₂A₁E∽Rt△OFE，
∴

A1P2

OF

=

A1E

EF

，
即

4

1

=

A1E

EF

，
∴A₁E=4EF，
∴OE=2-4EF，
在Rt△OEF中，OF²+EF²=OE²，
即1²+EF²=（2-4EF）²，
整理得，15EF²-16EF+3=0，
解得EF=

8- 19

15

或EF=

8+ 19

15

（舍去），
所以，tanα=

EF

OF

=

EF

1

=

8- 19

15

．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了求二次函數圖象與坐標軸的交點，正方形的性質，配方法，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數，等腰直角三角形的性質，難點在于第（3）小題的兩個小題都要分情況討論，并且運算量較大．