Question

【題目】在中，，為斜邊上的中線;在中，，,且．連接,點、點分別為線段的中點，連接．

如圖1，當點在內部時，求證：

如圖2，當點在外部時，連接,判斷與的數量關系，并加以證明；

將圖1中的繞點旋轉，在旋轉的過程中，請直接回答：

①中的與的數量關系是否發生了變化?

②若,當點三點在同一條直線上時，請直摟寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①與的數量關系不變；②或

【解析】

（1）利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半和三角形的中位線即可；

（2）根據三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：由等邊對等角可知再由平行線的性質可知因此得出：，所以證得△EMN≌△DNC進而得出結論；
（3）①借助（2）得出結論；

②分兩種情況，如圖，先判斷出點N是以點D為圓心，為半徑的圓上，即可得出結論．

（1）證明，在中

是斜邊上的中線

在中，點分別是邊的中點，

（2）CN與的數量關系是

證明:如圖，連接。

在中，是斜邊上的中線，

在中，點是斜邊的中點，

中，點、點、點分別為線段的中點,

，

即

（3）①與的數量關系不變

與（2）同理可證；

②或

分兩種情況，如圖，

由（2）可知：點N在以點D 為圓心，為半徑的圓上，

在Rt△ABC中，CD是AB邊上的中線，

∴CD=AB=a

∵點D、N分別是AB、BF的中點，

∴DN=AF=b

∴CN最大=CD+DN=，CN最小=CD-DN=

由（2）可知：EN=CN

∴EN最大=，EN最小=

∴EN的最大值為，EN的最小值為

∴EN的值為或者