Question

閱讀理解：對于任意正實數a、b，∵≥0，　∴≥0，

∴≥，只有當a＝b時，等號成立．

結論：在≥（a、b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥，只有當a＝b時，a+b有最小值．

根據上述內容，回答下列問題：

若m＞0，只有當m＝     時，     ．

思考驗證：如圖1，AB為半圓O的直徑，C為半圓上任意一點（與點A、B不重合），過點C作CD⊥AB，垂足為D，AD＝a，DB＝b．

試根據圖形驗證≥，并指出等號成立時的條件．

探索應用：如圖2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P為雙曲線（x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

 

Answer 1

【答案】

解：閱讀理解：m=  1  （填不扣分），最小值為 2  ；   

思考驗證：∵AB是的直徑，∴AC⊥BC,又∵CD⊥AB,∴∠CAD=∠BCD=90°-∠B,

∴Rt△CAD∽Rt△BCD,   CD²=AD·DB,    ∴CD=      　　

若點D與O不重合，連OC，在Rt△OCD中，∵OC>CD, ∴，

若點D與O重合時，OC=CD,∴ 　

綜上所述，，當CD等于半徑時，等號成立.

 探索應用：設,　則,，

，化簡得： 

，只有當

∴S≥2×6＋12＝24，

∴S_{四邊形ABCD}有最小值24.     

此時，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,∴四邊形ABCD是菱形．

【解析】閱讀理解：讀懂題意即可得到結果；

思考驗證：先證Rt△CAD∽Rt△BCD，根據相似三角形的對應邊乘比例即可表示出CD，分兩種情況討論：

若點D與O不重合，連OC，在Rt△OCD中，；若點D與O重合，

綜上所述，，當CD等于半徑時，等號成立.

探索應用：設出點P的坐標，即可表示出CA、DB，從而得到四邊形ABCD面積的函數關系式，根據函數關系式的特征即可得到結果。