Question

閱讀理解：對于任意正實數a，b，
∵（

a

-

b

）²≥0，
∴a-2

ab

+b≥0，
∴a+b≥2

ab

，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實數）中，若ab為定值P，則a+b≥2

p

，
當a=b，a+b有最小值2

p

．
根據上述內容，回答下列問題：
（1）若x＞0，x+

4

x

的最小值為

 

．
（2）探索應用：如圖，已知A（-2，0），B（0，-3），點P為雙曲線y=

6

x

（x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用在a+b≥2

ab

得到x+

4

x

≥2

x• 4 x

，即可得到x+

4

x

的最小值；
（2）設p（x，

6

x

），則C（x，0），D（0，

6

x

），則可表示出四邊形ABCD面積S=

1

2

AC•DB=

1

2

（x+2）（

6

x

+3），變形得S=

3

2

（x+

4

x

）+6，利用前面的結論可得四邊形ABCD面積的最小值為12．此時x=

4

x

，則x=2，得到OA=OC=2，OD=OB=3，利用平行四邊形的判定定理可得四邊形ABCD是平行四邊形，而AC⊥BD，再根據菱形的判定定理得到四邊形ABCD是菱形．

解答：解：（1）4；

（2）設P（x，

6

x

），則C（x，0），D（0，

6

x

），
∴四邊形ABCD面積S=

1

2

AC•DB=

1

2

（x+2）（

6

x

+3）
=

3

2

（x+

4

x

）+6，
由（1）得若x＞0，x+

4

x

的最小值為4，
∴四邊形ABCD面積S≥

3

2

×4+6=12，
∴四邊形ABCD面積的最小值為12．
此時x=

4

x

，則x=2，
∴C（2，0），D（0，3），
∴OA=OC=2，OD=OB=3，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
又AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評：本題考查了閱讀理解題的解題方法：利用題目中給的方法或結論解決問題．也考查了利用坐標表示線段長以及平行四邊形和菱形的判定方法．