Question

【題目】如圖所示，學校準備修建一個含內接矩形的菱形花壇（花壇為軸對稱圖形）．矩形的四個頂點分別在菱形四條邊上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．設AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面積為S米2．

（1）求S與x的函數關系式；

（2）學校準備在矩形內種植紅色花草，在四個三角形內種植綠色花草．已知：紅色和綠色植物的價格為200元/米2，100元/米2，當x為何值時，購買花卉所需的總費用最低，并求出最低總費用（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】（1）S=-x2+6x（2）900

【解析】

（1）連接AC、BD，根據軸對稱的性質，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF為等邊三角形，從而求出EF．在Rt△AEM中求出EM，繼而得出EH，這樣即可得出S與x的函數關系式．

（2）根據（1）的答案，可求出四個三角形的面積，設費用為W，則可得出W關于x的二次函數關系式，利用配方法求最值即可．

（1）連接AC、BD．

∵花壇為軸對稱圖形，∴EH∥BD，EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC．

又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形．

同理，得到△BEF是等邊三角形．

∵AB==2，∴EF=BE=AB﹣AE=（2﹣x）m．在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，則EM=AEcos∠AEM=x，∴EH=2EM=x，故可得S=x（2﹣x）=﹣x2+6x；

（2）∵菱形ABCD的面積為2×3=6，矩形EFGH的面積為﹣x2+6x，∴四個三角形的面積為6+x2﹣6x，設總費用為W，則W=200（﹣x2+6x）+100（6+x2﹣6x）

=﹣100x2+600x+600

=﹣100（x﹣）2+900．

∵1≤x≤2，∴當x=時，W取得最大值，最大值為900．

答：當x=時，購買花卉所需的總費用最低，最低總費用900．