Question

如圖，四邊形ABCD、BEFG均為正方形.

（1）如圖1，連接AG、CE，試判斷AG和CE的數量關系和位置關系并證明.
（2）將正方形BEFG繞點B順時針旋轉β角（0°＜β＜180°），如圖2，連接AG、CE相交于點M，連接MB，當角β發生變化時，∠EMB的度數是否發生變化？若不變化，求出∠EMB的度數；若發生變化，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，過點A作AN⊥MB交MB的延長線于點N，請直接寫出線段CM與BN的數量關系      .

Answer 1

詳見解析.

試題分析：
(1)判斷和的數量關系，可通過證求解.判斷和的位置關系，可延長交于點，求即可。
（2），理由是：過點作，，利用得出，由全等三角形得到面積相等,而,可得出，由到角兩邊距離相等的點在角的平分線上得為的角平分線，再由，及一對對頂角相等，可得，利用角平分線的定義即可求解.
（3）.如備用圖，在上截取，由可得為等腰直角三角形，由勾股定理得,然后證，因為（理由：；由問題2中得；以及正方形的邊.由可得全等）.根據全等三角形的對應邊相等即可求證.

試題解析：
解：（1），理由如下：如上圖1，
∵四邊形BEFG和ABCD為正方形
∴
∵在和中

∴
∴，
延長交于點，
∴
∴
∴
(2)，理由如下：如上圖2
過點作，
在和中

∴
∴
∴
∴
∴平分
∵
∴
（3）