Question

如圖，⊙P與y軸相切于坐標原點O（0，0），與x軸相交于點A（5，0），過點A的直線AB與y軸的正半軸交于點B，與⊙P交于點C．
（1）已知AC=3，求點B的坐標；
（2）若AC=a，D是OB的中點．問：點O、P、C、D四點是否在同一圓上？請說明理由．如果這四點在同一圓上，記這個圓的圓心為O₁，函數y=

k

x

的圖象經過點O₁，求k的值（用含a的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）此題有兩種解法：
解法一：連接OC，根據OA是⊙P的直徑，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求證Rt△AOC∽Rt△ABO，利用其對應變成比例求得OB即可；
解法二：連接OC，根據OA是⊙P的直徑，可得∠ACO=90°，利用勾股定理求得OC，過C作CE⊥OA于點E，分別求得CE、0E，設經過A、C兩點的直線解析式為：y=kx+b．
把點A（5，0）、C(

16

5

，

12

5

)代入上式解得即可．
（2）連接CP、CD、DP，根據OC⊥AB，D為OB上的中點，可得CD=

1

2

OB=OD，求證Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，可得PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，由上可知，經過點O、P、C、D的圓心O₁是DP的中點，圓心O1(

OP

2

，

OD

2

)，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，可得

AC

OA

=

OA

AB

，求得：AB、OD即可．

解答：解：（1）解法一：連接OC，
∵OA是⊙P的直徑，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，OC=

OA2-AC2

=

25-9

=4，
在Rt△AOC和Rt△ABO中，
∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴

AC

CO

=

AO

OB

，即

3

4

=

5

OB

，
∴OB=

20

3

，
∴B(0，

20

3

)

解法二：連接OC，因為OA是⊙P的直徑，
∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，
∴OC=4，
過C作CE⊥OA于點E，則：

1

2

•OA•CE=

1

2

•CA•OC，
即：

1

2

×5×CE=

1

2

×3×4，
∴CE=

12

5

，（2分）
∴OE=

OC2-CE2

=

42-( 12 5

)2=

16

5

，
∴C(

16

5

，

12

5

)，
設經過A、C兩點的直線解析式為：y=kx+b．
把點A（5，0）、C(

16

5

，

12

5

)代入上式得：

5k+b=0 16 5 k+b= 12 5

，
解得：

k=- 4 3 b= 20 3

，
∴y=-

4

3

x+

20

3

，
∴點B(O，

20

3

)．

（2）點O、P、C、D四點在同一個圓上，理由如下：
連接CP、CD、DP，
∵OC⊥AB，D為OB上的中點，
∴CD=

1

2

OB=OD，
∴∠3=∠4，
又∵OP=CP，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，
∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，
∴PD上的中點到點O、P、C、D四點的距離相等，
∴點O、P、C、D在以DP為直徑的同一個圓上；
由上可知，經過點O、P、C、D的圓心O₁是DP的中點，圓心O1(

OP

2

，

OD

2

)，
由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴

AC

OA

=

OA

AB

，
求得：AB=

25

a

，在Rt△ABO中，OB=

AB2-OA2

=

5 25-a2

a

，
OD=

1

2

OB=

5 25-a2

2a

，OP=

OA

2

=

5

2

∴O1(

5

4

，

5 25-a2

4a

)，點O₁在函數y=

k

x

的圖象上，
∴

5 25-a2

4a

=

4k

5

，
∴k=

25 25-a2

16a

．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，待定系數法求反比例函數關系式，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，圓周角定理等知識點的理解和掌握，綜合性較強，有一定的拔高難度，屬于難題．