Question

如圖，⊙M與x軸相切于原點，平行于y軸的直線交圓于P、Q兩點，P點在Q點的下方．若P點的坐標是（2，1），求圓心M的坐標．

Answer 1

分析：過M作MN垂直于PQ，交PQ于N，根據垂徑定理得到N為PQ中點，連接PM，由點P分別作x軸與y軸的垂線，交x軸于點A，與y軸交于點B，根據P的坐標得到PA和PB的長度，設圓心M的坐標為（0，m），則圓的半徑MO=m，根據NA-PA表示出NP，而MN與PB相等，故在直角三角形MNP中，利用勾股定理列出關于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，從而確定出圓心M的坐標．

解答：解：過M作MN⊥PQ，交PQ于N，連接PM，
∴N為PQ的中點，
又P的坐標為（2，1），過P作PA⊥x軸，PB⊥y軸，
所以MN=PB=2，PA=1，
設圓心M的坐標為（0，m），由圓M與x軸相切于原點，
則圓的半徑MP=m（m＞0），NP=NA-PA=OM-PA=m-1，
在直角三角形MNP中，根據勾股定理得：
m²=（m-1）²+2²，即2m=5，解得m=

5

2

，
則圓心M的坐標為（0，

5

2

）．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．在解決圓有關問題時，遇到圓中的弦，常常過圓心作這條弦的垂線，利用垂徑定理得中點，由垂直構造以圓心、垂足及弦的一個端點為頂點的直角三角形解決有關問題．