Question

【題目】閱讀下面材料：

小明在數學課外小組活動時遇到這樣一個問題：

如果一個不等式中含有絕對值，并且絕對值符號中含有未知數，我們把這個不等式叫做絕對值不等式，求絕對值不等式|x|＞3的解集．

小明同學的思路如下：

先根據絕對值的定義，求出|x|恰好是3時x的值，并在數軸上表示為點A，B，如圖所示．觀察數軸發現，以點A，B為分界點把數軸分為三部分：

點A左邊的點表示的數的絕對值大于3；

點A，B之間的點表示的數的絕對值小于3；

點B右邊的點表示的數的絕對值大于3．

因此，小明得出結論絕對值不等式|x|＞3的解集為：x＜-3或x＞3．

參照小明的思路，解決下列問題：

（1）請你直接寫出下列絕對值不等式的解集．

①|x|＞1的解集是 ．

②|x|＜2.5的解集是 ．

（2）求絕對值不等式2|x-3|+5＞13的解集．

（3）直接寫出不等式x2＞4的解集是 .

Answer 1

【答案】（1）①x＞1或x＜-1;②-2.5＜x＜2.5;（2）x＞7或x＜-1；（3）x＞2或x＜-2．

【解析】

（1）先根據絕對值的定義，當|x|=1時，x=1或-1.再根據題意即可得；
（2）將2|x-3|+5＞13化為|x-3|＞4后，求出當|x-3|=4時，x=7或-1根據以上結論即可得；
（3）將x2＞4化為|x|＞2,再根據題意即可得．

解：（1）①根據絕對值的定義，當|x|=1時，x=1或-1,分界點把數軸分為三部分：

點-1左邊的點表示的數的絕對值大于1；

點-1，1之間的點表示的數的絕對值小于1；

點1右邊的點表示的數的絕對值大于1．

因此，絕對值不等式|x|＞1的解集是 x＞1或x＜-1．

②根據絕對值的定義，當|x|=2.5時，x=2.5或-2.5,分界點把數軸分為三部分：

點-2.5左邊的點表示的數的絕對值大于2.5；

點-2.5，2.5之間的點表示的數的絕對值小于2.5；

點2.5右邊的點表示的數的絕對值大于2.5．

因此，絕對值不等式|x|＜2.5的解集是-2.5＜x＜2.5．

故答案是：①x＞1或x＜-1；②-2.5＜x＜2.5；

（2）2|x-3|+5＞13

∴2|x-3|＞8

∴|x-3|＞4

根據絕對值的定義，當|x-3|=4時，x=7或-1,分界點把數軸分為三部分：

點-1左邊的點表示的數與3的差的絕對值大于4；

點-1，7之間的點表示的數與3的差的絕對值小于4；

點7右邊的點表示的數與3的差的絕對值大于4

∴|x-3|＞4的解集為x＞7或x＜-1；

∴2|x-3|+5＞13的解集為x＞7或x＜-1；

（3）∵x2＞4

∴|x|＞2

根據絕對值的定義，當|x|=2時，x=2或-2,分界點把數軸分為三部分：

點-2左邊的點表示的數的絕對值大于2；

點-2，2之間的點表示的數的絕對值小于2；

點2右邊的點表示的數的絕對值大于2．

因此，絕對值不等式|x|＞2的解集是 x＞2或x＜-2．

∴不等式x2＞4的解集是 x＞2或x＜-2．

故答案是：x＞2或x＜-2．