Question

已知，二次函數y=mx²+3（m-

1

4

）x+4（m＜0）與x軸交于A、B兩點，（A在B的左邊），與y軸交于點C，且∠ACB=90度．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）矩形DEFG的一條邊DG在AB上，E、F分別在BC、AC上，設OD=x，矩形DEFG的面積為S，求S關于x的函數解析式；
（3）將（1）中所得拋物線向左平移2個單位后，與x軸交于A′、B′兩點（A′在B′的左邊），矩形D′E′F′G′的一條邊D′G′在A′B′上（G′在D′的左邊），E′、F′分別在拋物線上，矩形D′E′F′G′的周長是否存在最大值？若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的解析式可以得到C的坐標是（0，4），則OC=4，∠ACB=90°且OC⊥AB，因而滿足射影定理，因而有C0²=AO•OB，AO•OB就是方程mx²+3（m-

1

4

）x+4=0的兩根的積，根據韋達定理，AO•OB就可以用m表示出來．得到關于m的方程，求出m的值．
（2）已知OD=x，即E點的橫坐標是x，代入拋物線的解析式就可以求出E點的縱坐標；拋物線與x軸的交點坐標容易得到，根據待定系數法就可以求出直線AC的解析式．把E點的縱坐標代入AC的解析式就可以求出F點的橫坐標，就可以得到EF的長（用x表示出來）．則函數解析式就可以得到．
（3）在原來拋物線解析式中用x+2代替解析式中的x，就可以得到平移后的拋物線的解析式．可以設D’（x，O），同（2）中的解法就可以求出矩形D′E′F′G′的周長關于x的函數，根據二次函數的性質求最值．

解答：解：（1）∵CO²=AO•OB
m=-

1

4

y=-

1

4

x²-

3

2

x+4

（2）A（-8，0），B（2，0）
OD=x
ED=4-2x，EF=5x
S=ED•EF=-10x²+20x（0＜x＜2）

（3）平移后的拋物線y′=-

1

4

x²-

5

2

∴A′（-10，0）B′（0，0）
設D′（x，0），則G′（-10-x，0）
E′（x，-

1

4

x²-

5

2

x），
F′（-10-x，-

1

4

x²-

5

2

x）
C_{矩形D'E'F'G′}=2（GD+DE）
=2[10+2x+（-

1

4

x²-

5

2

x）]
=-

1

2

x²-x+20（-5＜x＜0）
當x=-1時，C矩形D′E′F′G′最大值=20.5．

點評：本題是函數與矩形相結合的題目，把求最值的問題轉化為函數問題，利用函數的性質求解．