Question

【題目】定義：如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“和美三角形”，這條邊稱為“和美邊”，這條中線稱為“和美中線”．

理解：（1）請你在圖①中畫一個以AB為和美邊的和美三角形，使第三個頂點C落在格點上；

　　　　　

（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，．求證：△ABC是“和美三角形”．

運用：（3）已知，等腰△ABC是“和美三角形”，AB=AC=20，求底邊BC的長（畫圖解答）．

Answer 1

【答案】（1）如圖；見解析；（2）見解析；（3）底邊BC的長為或．

【解析】

（1）根據“和美三角形”的定義畫出圖形即可．
（2）如圖②，根據定義Rt△ABC中，和美中線一定是較長直角邊上的中線．根據“和美三角形”的定義證明即可．
（3）分兩種情況：如圖③，當腰上的中線BD=AC時，則AB=BD，過B作BE⊥AD于E．如圖④，當底邊上的中線AD=BC時，則AD⊥BC，且AD=2BD，分別求解即可解決問題．

（1）如圖；

（2）證明：如圖②，

根據定義，

Rt△ABC中，

和美中線一定是較長直角邊上的中線；

取AC的中點D，連結BD，

設AC＝2x，則CD＝AD＝x，

∵ ∴，

∴，

在Rt△BCD中，

∴BD＝AC，

∴△ABC是“和美三角形”；

（3）分兩種情況：

如圖③，當腰上的中線BD=AC時，則AB=BD，過B作BE⊥AD于E，

∵AB=AC=20，

∴BD=20，

，

∴CE=10+5=15，

∴Rt△BDE中，，

∴Rt△BCE中，

；

如圖④，當底邊上的中線AD=BC時，則AD⊥BC，且AD=2BD，

設BD=x，

則，

∴，

又∵x＞0，∴，

∴．

綜上所述，底邊BC的長為或．