Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，點O為坐標原點，矩形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B（12，4），點D（3，0），點E（0，2），過點D作DF⊥DE，交AB于點F，連結EF，將△DEF繞點E逆時針方向旋轉，旋轉角度為θ（0°＜θ＜180°）．

（1）求tan∠DFE．

（2）在旋轉過程中，當△DFE的一邊與直線AB平行時，求直線AB截△DFE所得的三角形的面積．

（3）在旋轉過程中，當∠DFE的兩邊所在直線與y軸圍成的三角形為等腰三角形時，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）如圖1，作輔助線，構建相似三角形，根據相似比求DG的長，利用勾股定理分別求DE和DF的長，由三角函數定義計算tan∠DFE的值；
（2）分三種情況：
①當ED∥AB時，如圖2，此時直線AB截△DFE所得的三角形是△FGH，
②當DF∥AB時，如圖3，此時直線AB截△DFE所得的三角形是△AGE，
③當EF∥AB時，如圖4，此時直線AB截△DFE所得的三角形是△DGH，
代入面積公式求出面積即可；
（3）分四種情況：
①如圖5，當GF=EF=時，根據三角函數得：tan∠G=，則，設FH=a，GH=3a，則GF=a，求出a的值，寫出F的坐標；
②當GF=GE時，如圖6，作輔助線，證明△EFH≌△FED，求FH和OH的長，寫出F的坐標；
③當FG=EF=時，如圖7，求DG的長，利用勾股定理求EG=，利用面積法求FH的長，寫出F的坐標；
④當EG=EF=時，如圖8，根據tan∠DFE=tan∠DGE==，設FH=3b，GH=4b，則FG=5b，
求出b的值，計算OH和FH的長，寫出F坐標．

試題解析：（1）如圖1，過F作FG⊥OC于G，則FG=4，

∵點D（3，0），點E（0，2），

∴OE=2，OD=3，

∵DF⊥DE，

∴∠EDF=90°，

∴∠EDO+∠FDC=90°，

∵∠EOD=90°，

∴∠OED+∠EDO=90°，

∴∠OED=∠FDC，

∵∠EOD=∠FGD=90°，

∴△FDG∽△DEO，

∴，

∴，

∴DG=，

由勾股定理得：DF===，

ED==，

在Rt△DEF中，tan∠DFE===；

（2）分三種情況：

①當ED∥AB時，如圖2，此時直線AB截△DFE所得的三角形是△FGH，

∵DF⊥DE，

∴AB⊥DF，

∴DH=AE=2，

∴FH=DF﹣DH=﹣2，

由tan∠F==得： =，

∴GH=，

∴S=S△FGH=GHFH=×（﹣2）=﹣2；

②當DF∥AB時，如圖3，此時直線AB截△DFE所得的三角形是△AGE，

tan∠AEG==，

∴，

∴AG=，

∴S=S△AGE=AGAE=××2=；

③當EF∥AB時，如圖4，此時直線AB截△DFE所得的三角形是△DGH，

∴∠F=∠DGH，

tan∠F=tan∠DGH==，

設DH=3x，DG=4x，則GH=5x，

過D作DM⊥EF，交GH于N，交EF于M，

∴DN=x，N=AE=2，

在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF===，

S△EDF=DEDF=EFDM，

×=×DM，

DM=，

由DN+MN=DM，得： +2=，

x=，

S=S△DGH=DH×DG=×4x×3x=6x2=6×（）2=﹣；

（3）分四種情況：

①如圖5，當GF=EF=時，

過F作FH⊥y軸于H，則GH=EH，

Rt△GED中，tan∠G==，

∵ED=，GD=FG+DF=+=3，

∴==，

設FH=a，GH=3a，則GF=a，

∴a=，

a=，

∴FH=，

OH=OE+HE=2+3×=+2=，

∴F（，）；

②當GF=GE時，如圖6，

過F作FH⊥y軸于H，

∴∠DFE=∠FEG，

∵∠FHE=∠FDE=90°，EF=EF，

∴△EFH≌△FED，

∴FH=ED=，HE=DF=，

∴OH=EH+OE=+2=，

∴F（﹣，）；

③當FG=EF=時，如圖7，

DG==，

Rt△DEG中，

EG===，

過F作FH⊥y軸于H，

∵FG=EF，

∴GH=EH=，

∴OH=+2=，

S△EGF=GEFH=FGDE，

FH=×，

FH=，

FH=，

∴F（﹣，）；

④當EG=EF=時，如圖8，

∴∠DFE=∠DGE，

∵ED⊥GF，

∴DF=DG=，

∴FG=2DF=，

tan∠DFE=tan∠DGE==，

設FH=3b，GH=4b，則FG=5b，

則5b=，

b=，

∴FH=3b=3×=，GH=4b=4×=，

∴OH=OE+EG﹣GH=OE+EF﹣GH=2+﹣=，

∴F（﹣，）．

綜上所述，點F的坐標為或或（﹣，）或（﹣，）．