Question

如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與BC切于點D，與AC交于點E，連接AD.

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求陰影部分的面積（結果保留）.

Answer 1

（1）證明：連接OD.

∵BC是⊙O的切線，D為切點，

∴OD⊥BC.············ 1分

又∵AC⊥BC，

∴OD∥AC，··········· 2分

∴∠ADO=∠CAD.········· 3分

又∵OD=OA，

∴∠ADO=∠OAD，···························· 4分

∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC.····················· 5分

（2）方法一：連接OE，ED.

∵∠BAC=60°，OE=OA，

∴△OAE為等邊三角形，

∴∠AOE=60°，

∴∠ADE=30°.

又∵，

∴∠ADE=∠OAD，

∴ED∥AO，············ 6分

∴S_△AED＝S_△OED，

∴陰影部分的面積 = S_扇形ODE = .··············· 9分

方法二：同方法一，得ED∥AO，······················ 6分

∴四邊形AODE為平行四邊形，

∴····················· 7分

又S_扇形ODE－S_△OED=················· 8分

∴陰影部分的面積 = (S_扇形ODE－S_△OED) + S_△AED =.······ 9分