Question

【題目】如圖 1，已知拋物線 L1：y=﹣x2+2x+3 與 x 軸交于 A，B 兩點（點 A在點 B 的左側），與 y 軸交于點 C，在 L1 上任取一點 P，過點 P 作直線 l⊥x 軸， 垂足為D，將 L1 沿直線 l 翻折得到拋物線L2，交 x 軸于點 M，N（點 M 在點 N 的左側）．

(1)當 L1 與 L2 重合時，求點 P 的坐標；

(2)當點 P 與點 B 重合時，求此時 L2 的解析式；并直接寫出 L1 與 L2 中，y 均隨x 的增大而減小時的 x 的取值范圍；

(3)連接 PM，PB，設點 P（m，n），當 n=m 時，求△PMB 的面積．

Answer 1

【答案】(1) P（1，4）;(2) y=﹣x2+10x﹣21；x≥5 ;(3) 或 3.

【解析】

（1）當點 P 為拋物線 L1 的頂點時，拋物線 L1 與 L2 重合，把y=﹣x2+2x+3變形為頂點式即可得P點坐標；（2）令 y=0，可求出P點坐標，可知L1 與 L2的對稱軸，進而可得L2的頂點坐標，即可求出L2的解析式；根據圖像可得L1 與 L2 中，y 均隨x 的增大而減小時的 x 的取值范圍；（3）把P（m，）代入L1解析式可求出m的值

，根據三角形面積公式求出S△PNB的值即可.

（1）由拋物線對稱性，當點 P 為拋物線 L1 的頂點時，拋物線 L1 與 L2 重合

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴點 P（1，4）；

（2）在拋物線 L1 中，令 y=0，即﹣x2+2x+3=0

解得 x1=﹣1，x2=3

當點 P 與點 B 重合時，此時 P（3，0）

∴拋物線 L2 與拋物線 L1 關于直線 x=3 對稱

∴拋物線 L2 的頂點為（5，4）

∵由拋物線對稱性可知，拋物線 L1 和 L2 開口方向和大小相同．

∴拋物線 L2 和的解析式為 y=﹣（x﹣5）2+4=﹣x2+10x﹣21

∴結合圖象可知，當 x≥5 時，拋物線 L1 與拋物線L2 中，y 均隨 x 的增大而減小

（3）當 n=時，﹣m2+2m+3=，

解得 m1=﹣，m2=2，

∴點 P 坐標為（﹣，﹣）或（2，3）

①如圖1，

當點 P 坐標為（﹣，﹣）時，點 D 的坐標為坐標為（﹣，0）

∴DB=3﹣（﹣）=

∴MB=2BD=2×=9

∴S△PMB==

②如圖 2，

當點 P 坐標為（2，3）時，點 D 的坐標為坐標為（2，0）

∴DB=3﹣2=1

∴MB=2BD=2

∴S△PMB==3

綜上所述：當點P（m，n），n=時，△PMB 的面積為或 3.