Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB:y= -+b交y軸于點A(0,1),交x軸于點B,直線x=1交AB于點D,交x軸于點E,P是直線x=1上的一動點，且在點D的上方，設P(1,n).

(1)求直線ABd解析式和點B的坐標；

(2)求△ABP的面積(用含n的代數式表示)；

(3) 當 =2時,

①求出點P的坐標；②在①的條件下，以PB為邊在第一象限作等腰直角△BPC，直接寫出點C的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=－x+1, 點B（3，0）;(2) n－1;(3)①P(1，2)；②（3，4）或（5，2）或（3，2）.

【解析】

(1)將點A的坐標代入直線AB的解析式可求得b值，可得AB的解析式，繼而令y=0，求得相應的x值即可得點為B的坐標；

(2)過點A作AM⊥PD，垂足為M，求得AM的長，再求得△BPD和△PAD的面積，二者的和即為△ABP的面積；

(3)①當S△ABP=2時，代入①中所得的代數式，求得n值，即可求得點P的坐標；

②分P是直角頂點且BP=PC、B是直角頂點且BP=BC 、C是直角頂點且CP=CB三種情況求點C的坐標即可．

(1)∵y=－x+b經過A(0，1)，∴b=1，

∴直線AB的解析式是y=－x+1，

當y=0時，0=－x+1，解得x=3，∴點B(3，0)；

(2)過點A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，

∵x=1時，y=－x+1=， P在點D的上方，∴PD=n－，

S△APD=PDAM=×1×(n－)=n－，

由點B(3，0)，可知點B到直線x=1的距離為2，

即△BDP的邊PD上的高長為2，

∴S△BPD=PD×2=n－，

∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n－+n－=n－1；

(3)①當S△ABP=2時，n－1=2，解得n=2，∴點P(1，2)；

②∵E(1，0)，

∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°．

第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，

過點C作CN⊥直線x=1于點N．

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°，

在△CNP與△BEP中，

，

∴△CNP≌△BEP，

∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4，

∴C(3，4)；

第2種情況，如圖2，∠PBC=90°，BP=BC，

過點C作CF⊥x軸于點F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°，

在△CBP與△PBE中，

，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5，

∴C(5，2)；

第3種情況，如圖3，∠PCB=90°，CP=CB，

∴∠CPB=∠CBP=45°，

∵∠EPB=∠EBP=45°，

∴∠PCB=∠CBE=∠EPC=90°，

∴四邊形EBCP為矩形，

∵CP=CB，

∴四邊形EBCP為正方形，

∴PC=CB=PE=EB=2，

∴C(3，2)；

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，點C的坐標是(3，4)或(5，2)或(3，2)．