Question

【題目】如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，BF交AC于G，連接CF．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）若∠BAC＝90°，①試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論；

②若AB＝8，BD＝5，直接寫出線段AG的長　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①四邊形ADCF是菱形；詳見解析；②2

【解析】

（1）由平行線證明三角形全等所缺少的條件，再根據三角形全等的判定方法證明三角形全等；

（2）①先證四邊形ADCF是平行四邊形，再證明鄰邊相等，便可得出結論；

②證明△AFG∽△CBG，得出AG與AC的比例關系，進而由直角三角形的性質求得AC，便可得AG．

（1）∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，

在△AEF和△DEB中，

，

∴△AEF≌△DEB(AAS)；

（2）①四邊形ADCF是菱形，

理由如下：∵△AEF≌△DEB，

∴AF＝BD，

∵BD＝DC，

∴AF＝DC＝BC，

又AF∥BC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

∵∠BAC＝90°，AD是BC邊上的中線，

∴AD＝DC，

∴四邊形ADCF是菱形；

②∵AF∥BC，

∴△AFG∽△CBG，

∴

∴

∴AG＝，

∵BD＝5，AD是BC邊上的中線，

∴BC＝2BD＝10，

∵∠BAC＝90°，AB＝8，

∴AC＝，

∴AG＝＝2，

故答案為2．