Question

16．如圖1，△ABC是邊長為8cm的等邊三角形，點D從B點出發沿B→A方向在線段BA上以acm/s的速度運動，點E從C點出發沿C→B方向在線段CB上以bcm/s的速度運動，D，E兩點同時出發，運動時間為ts，當點D到達點A后，D，E兩點停止運動．
（1）如圖2，若a=b=1，連接AE，CD，相交于點F，連BF
①求∠AFC的度數；
②當AF=2CF時，求t的值
（2）如圖3，若a=2，b=1，連接DE，以DE為邊作等邊△DEM，使M，B在DE的兩側，點O為AC的中點，連接OM，求OM的最小值．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，由題可得BD=CE=t，易證△BDC≌△CEA，則有∠BCD=∠CAE，根據三角形外角的性質可求得∠EFC=60°，即可得到∠AFC=120°；
②延長FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，根據△FAG是等邊三角形，△ABC是等邊三角形，即可判定△AGB≌△AFC，從而得出∠BGF=∠EFC=60°，得到EF∥GB，根據平行線分線段成比例定理可得$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$，再根據AF=2CF，CE=t，BC=8，得出GF=2CF，BE=8-t，進而得到$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{8-t}$，解得t=$\frac{8}{3}$即可；
（2）連接AM，過D作DH⊥BC于H，根據SAS判定△ADM≌△HED，進而得出∠DAM=∠EHD=90°，而∠DAO=60°，可得∠OAM=90°-60°=30°，因此當OM⊥AM時，OM最短，此時，OM=$\frac{1}{2}$AO，故OM的最小值為2．

解答 解：（1）①如圖1，當a=b=1時，BD=CE=t，
∵△ABC是邊長為8cm的等邊三角形，
∴CB=AC，∠CBD=∠ACE=60°，
在△BDC和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠CBD=∠ACE}\\{CB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△CEA（SAS），
∴∠BCD=∠CAE，
∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°，
∴∠AFC=120°；

②如圖2，延長FD到G，使得FG=FA，連接GA、GB，
∵∠AFG=∠EFC=60°，FG=FA，
∴△FAG是等邊三角形，
∴AG=AF=FG，∠AGF=∠GAF=60°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴∠GAF=∠BAC=60°，
∴∠GAB=∠FAC．
在△AGB和△AFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AF}\\{∠GAB=∠FAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AGB≌△AFC（SAS），
∴∠AGB=∠AFC=120°，
∴∠BGF=60°，
∴∠BGF=∠EFC=60°，
∴EF∥GB，
∴$\frac{CF}{FG}$=$\frac{CE}{EB}$，
又∵AF=2CF，CE=t，BC=8，
∴GF=2CF，BE=8-t，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{t}{8-t}$，
解得t=$\frac{8}{3}$，
∴當AF=2CF時，t的值為$\frac{8}{3}$；

（2）如圖3，連接AM，過D作DH⊥BC于H，
∵當a=2，b=1時，BD=2t，CE=t，而∠B=60°，AB=8，
∴BH=t，AD=8-2t，HE=8-t-t=8-2t，
∴DA=EH，
∵△DEM是等邊三角形，
∴DE=MD，∠EDM=60°，
∴∠ADM+∠BDE=∠HED+∠BDE=120°，
∴∠ADM=∠HED，
在△ADM和△HED中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=EH}\\{∠ADM=∠HED}\\{MD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△HED（SAS），
∴∠DAM=∠EHD=90°，而∠DAO=60°，
∴∠OAM=90°-60°=30°，
∴當OM⊥AM時，OM最短，
∵點O為AC的中點，
∴AO=4，
此時，OM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×4=2．
故OM的最小值為2．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理以及含30°角 的直角三角形的性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形以及全等三角形，依據全等三角形的對應邊相等，對應角相等進行推導計算．解題時注意：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．