Question

【題目】已知，△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合）．以AD為邊作菱形ADEF，使∠DAF=60°，連接CF．

初步感知：
（1）如圖1，當點D在邊BC上時，①求證：∠ADB=∠AFC；②請直接判斷結論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；
（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上時，其他條件不變，結論∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？請寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的數量關系，并寫出證明過程；
（3）如圖3，當點D在邊CB的延長線上時，且點A、F分別在直線BC的異側，其他條件不變，請補全圖形，并直接寫出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

①證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠DAF=60°，

∴∠BAC=∠DAF，

∴∠BAD=∠CAF，

∵四邊形ADEF是菱形，

∴AD=AF，

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（SAS），

∴∠ADB=∠AFC，

②解：∠AFC=∠ACB+∠DAC成立．理由如下：

∵△ABD≌△ACF，

∴∠ADB=∠AFC，

∵∠ADB=∠ACB+∠DAC，

∴∠AFC=∠ACB+∠DAC

問題探究：

（2）

解：∠AFC=∠ACB+∠DAC不成立．

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關系是∠AFC=∠ACB﹣∠DAC．理由如下：

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，

∠BAC=60°，

∵∠BAC=∠DAF，

∴∠BAD=∠CAF，

∵四邊形ADEF是菱形，

∴AD=AF．

在△ABD和△ACF中， ，

∴△ABD≌△ACF（SAS）．

∴∠ADB=∠AFC．

又∵∠ACB=∠ADC+∠DAC，

∴∠AFC=∠ACB﹣∠DAC

類比分析：

（3）

解：補全圖形如圖所示：

∠AFC、∠ACB、∠DAC之間的等量關系是：∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°；理由如下：

同（2）得：△ABD≌△ACF，

∴∠ADC=∠AFC，

∵∠ADC+∠ACB+∠DAC=180°，

∴∠AFC+∠DAC+∠ACB=180°．

【解析】（1）①由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判斷兩三角形全等得出∠ADB=∠AFC；②由全等三角形的性質和三角形的外角性質即可得出結論；（2）此題應先判斷得出正確的等量關系，然后再根據△ABD≌△ACF即可證明；（3）補全圖形后由圖形，由全等三角形的性質和三角形內角和定理即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之間存在的等量關系．