Question

如圖1所示，點C將線段AB分成兩部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S₁、S₂，如果

s1

s

=

s2

s1

，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）研究小組猜想：在△ABC中，若點D為AB邊上的黃金分割點，如圖2所示，則直線CD是△ABC的黃金分割線，你認為對嗎？說說你的理由；
（2）請你說明：三角形的中線是否是該三角形的黃金分割線．

Answer 1

分析：（1）結合線段的黃金分割點的概念和三角形的面積公式進行分析計算；
（2）根據三角形的中線的概念可知分成的兩個三角形的面積相等，顯然不符合黃金分割線的概念．

解答：解：∵

S△ACD

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BCD

S△ACD

=

BD

AD

，
又∵D是AB的黃金分割點，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，

S△ACD

S△ABC

=

S△BCD

S△ACD

，
∴CD是△ABC的黃金分割線；

（2）不是．
∵CD是△ABC的中線，
∴AD=DB，
∴

S△ACD

S△ABC

=

1

2

，
而

S△BCD

s△ACD

=1，
∴

S△ACD

S△ABC

≠

S△BCD

s△ACD

，
∴中線不是黃金分割線．

點評：主要考查的是線段的黃金分割點的概念和三角形的面積公式．