Question

【題目】已知拋物線：與軸交于，兩點，與軸交于點，其對稱軸與軸交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，若動點在對稱軸上，當的周長最小時，求點的坐標；

（3）如圖2，設點關于對稱軸的對稱點為，是線段上的一個動點，若，求直線的表達式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）根據點A，B，C的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線m的函數表達式；
（2）連接BC交拋物線對稱軸n于點P，利用兩點之間線段最短可得出此時△PAC的周長最小，由點B，C的坐標可求出直線BC的函數表達式，由拋物線的函數表達式可得出拋物線對稱軸為直線x=2，再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；

（3）由拋物線的對稱軸及點C的坐標可得出點D的坐標，進而可得出OE，CD的長，設點M的坐標為（0，y）（0≤y≤6），則OM=y，CM=6-y，由△DMC∽△MEO，利用相似三角形的性質可求出OM的長，進而可得出點M的坐標，再根據點D，M的坐標，利用待定系數法即可求出直線DM的函數表達式．

（1）拋物線：經過，，三點，

，解得：

拋物線的表達式為：．

（2）如圖1．連接與對稱軸交于點，

和關于對稱軸對稱，

對稱軸為，且有，

，

兩點之間線段最短，

的周長最小值為，

此時與對稱鈾的交點為所求，

：經過，的直線為，

當時，，則．

（3）如圖2，對稱軸為．

點關于對稱軸的對稱點為

點在線段上，設點的坐標為，

則，，，

又，，

由，得：，即，

解得：或4，則點的坐標為或，

設直線的表達式為，

①當，時，有，即．

直線的表達式為；

②當，時，有，即．

直線的表達式為：

綜上所述：所求自線的表達式為或．