Question

按右圖所示的流程，輸入一個數據x，根據y與x的關系式就輸出一個數據y，這樣可以將一組數據變換成另一組新的數據，要使任意一組都在2～10（含2和10）之間的數據，變換成一組新數據后能滿足下列兩個要求：
（Ⅰ）新數據都在6～10（含6和10）之間．
（Ⅱ）新數據之間的大小關系與原數據之間的大小關系一致，即原數據大的對應的新數據也較大（y隨x的增大而增大）．
（1）若關系式是y=x+p（10-x），請說明：當p=

1

2

時，這種變換滿足上述兩個要求．
（2）請你再寫出一個滿足上述要求的一次函數的關系式：

 

．
（3）若按關系式y=a（x-2）²+k將數據進行變換，請直接寫出一個滿足上述要求的關系式，并探索a、k滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）將p=

1

2

代入函數關系式，求出一次函數的解析式，然后根據該函數的定義域求值域、根據函數圖象的單調性來驗證是否滿足條件；
（2）利用（1）的結果，寫出一個一次項系數是

1

2

的一次函數關系式即可；
（3）本題是開放性問題，答案不唯一．若所給出的關系式滿足：（a）h≤2；（b）若x=2、x=10時，y的對應值m、n能落在6～10（含6和10）之間，則這樣的關系式都符合要求．

解答：解：（1）當p=

1

2

時，y=x+

1

2

（10-x），即y=

1

2

x+5．
∴y隨x的增大而增大，即當p=

1

2

時，滿足條件（Ⅱ）；
又當x=2時，y=2+

1

2

（10-2）=6，
當x=10時，y=10+

1

2

（10-10）=10，
而原數據都在2～10（含2和10）之間，所以新數據都在6～10（含6和10）之間，即滿足條件（Ⅰ）；
綜上所述，當P=

1

2

時，這種變換滿足要求；

（2）由（1）知，一次函數的關系式的一次項系數是

1

2

的都滿足條件，例如y=

1

2

x+5滿足要求；

（3）本題是開放性問題，答案不唯一．
若所給出的關系式滿足：（a）h≤2；（b）若x=2、x=10時，y的對應值m、n能落在6～10（含6和10）之間，則這樣的關系式都符合要求．
如取h=2，y=a（x-2）²+k；
當a＞0、x∈（2，10）時，y隨著x的增大而增大；
令x=2，y=6時，k=6    ①
令x=10，y=10時，64a+k=10      ②
由①②解得，a=

1

16

，
∴滿足上述要求的關系式時y=

1

16

（x-2）²+6．

點評：本題主要考查了二次函數、一次函數的性質．解答該題時，需特別熟悉二次函數、一次函數的圖象的單調性和根函數的定義域求值域的知識．