Question

（本小題滿分8分）按右圖所示的流程，輸入一個數據x，根據y與x的關系式就輸出一個數據y，這樣可以將一組數據變換成另一組新的數據，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數據，變換成一組新數據后能滿足下列兩個要求：

（a）新數據都在60～100（含60和100）之間；
（b）新數據之間的大小關系與原數據之間的大小關系一致，即原數據大的對應的新數據也較大。
（1）若y與x的關系是y＝x＋p(100－x)，請說明：當p＝時，這種變換滿足上述兩個要求；
（2）若按關系式y=a(x－h)²＋k　(a>0)將數據進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關系式。（不要求對關系式符合題意作說明，但要寫出關系式得出的主要過程）

Answer 1

（1）當P=時，y=x＋,即y=。
∴y隨著x的增大而增大，即P=時，滿足條件（Ⅱ）---------------2分
又當x=20時，y=60;當x=100時y=100。原數據都在20～100之間，所以新數據都在60～100之間，即滿足條件（Ⅰ），綜上，當P=時，這種變換滿足要求；-4分
（2）本題是開放性問題，答案不唯一。若所給出的關系式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時，y的對應值m，n能落在60～100之間，則這樣的關系式都符合要求。
如取h=20,y=,∵a＞0，∴當20≤x≤100時，y隨著x的增大
令x=20,y=60，得k=60             　  ①                      
令x=100,y=100，得a×80²＋k=100        ②
由①②解得，    ∴。---------------8分

解析此題可用函數思想解決。