Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，延長BP至點D，使得AD=AP，當AD⊥AB時，過D作DE⊥AC于E，AB－BC=4，AC=8，則△ABP面積為____.

Answer 1

【答案】15

【解析】

設AB的長為x，則BC可用x表示，用勾股定理建立方程即可解出x；要求△ABP的面積，只需求出AB邊上的高即可，易知BP是角平分線，所以作PF垂直AB于點F，可得BF=BC，PF=PC，從而AF=4，設PF=y，則AP=8-y，再用勾股定理解出y即可求出結論.

設AB=x，

∵AB-BC=4，

∴BC=x-4，

∵AC=8，

∴在Rt△ABC中，（x-4）2+64=x2，

解得：x=10，

即AB=10，

∴BC=6，

∵∠C=90°，

∴∠CBP+∠BPC=90°，

∵DA⊥BA，

∴∠PBA+∠BDA=90°，

∵AD=AP，

∴∠BDA=∠DPA=∠BPC，

∠CBP=∠ABP；

過點P作PF⊥BA于點F，如圖，

在△BCP和△BFP中：

，

∴△BCP≌△BFP，

∴BF=BC=6，PF=PC，

∴AF=4，

設PF=PC=y，

在Rt△PAF中，16+y2=（8-y）2，

解得：y═3，

即PF=3，

∴S△ABP＝×AB×PF=×10×3=15.