Question

如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，連接AD．
（1）若∠BAC=110°，∠DAC：∠C=2：1，求∠B的度數．
（2）過D作DF∥AB交AC于F，連接EF，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據線段垂直平分線的性質得到DB=DA，則∠B=∠BAD，根據三角形內角和定理得到∠B+∠C=180°-110°=70°，設∠C=x，則∠DAC=2x，∠B=∠BAD=110°-2x，于是110°-2x+x=70°，解得x=40°，然后代入B=∠BAD=110°-2x計算即可；
（2）由于DE垂直平分AB，則∠DEA=90°，而DF∥AB，根據平行線的性質即可得到∠EDF=90°．

解答：解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DB=DA，
∴∠B=∠BAD，
∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=180°-110°=70°，
設∠C=x，則∠DAC=2x，
∴∠B=∠BAD=110°-2x，
∴110°-2x+x=70°，解得x=40°，
∴∠B=110°-80°=30°；

（2）△DEF是直角三角形；理由如下：
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA=90°，
∵DF∥AB，
∴∠EDF=90°，
∴△DEF是直角三角形．

點評：本題考查了線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．也考查了三角形內角和定理以及平行線的性質．