Question

【題目】已知：如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于D．

（1）用尺規作⊙O，使⊙O過A、D兩點，且圓心O在AC上．（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）求證：BC與⊙O相切；

（3）設圓O交AB于點E，若AE＝2，CD＝2BD．求線段BE的長和弧DE的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析； （2）證明見解析；（3）BE＝1， 的長度為.

【解析】試題分析：（1）根據題意得：O點應該是AD垂直平分線與AC的交點；由此作AD的垂直平分線與AC交點即為圓心，然后以OA為半徑即可作圓；

（2））由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質可證得AB∥OD，又由∠B=90°，則問題得證；

（3）連接OE，過點O作OF⊥AB于點F，

由垂徑定理定理以及△AOF與△ACB相似推導得出AB的長，從而得BE的長，由OD∥AB可得△OCD∽△ACB，從而得出△AOE是等邊三角形，進而推得∠EOD＝60°，從而可得 的長度.

試題解析：（1）如圖所示，⊙O即為所求：

（2）連接OD，

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠OAD，

∴∠BAD＝∠ODA，∴OD∥AB，

∴∠ODC＝∠ABC＝90°，

∵OD是半徑，

∴BC與⊙O相切；

（3）連接OE，過點O作OF⊥AB于點F，

∵AE＝2，∴由垂徑定理定理可知：AF＝1，

∵CD＝2BD，∴ ， ，

∵OF∥BC，∴△AOF∽△ACB，

∴，

∵OF＝BD，∴ ，

∴，∴AB＝3，

∴BE＝AB－AE＝1，

∵OD∥AB，∴△OCD∽△ACB，∴ ，

∴OD＝2，∴OA＝OD＝AE，

∴△AOE是等邊三角形，

∴∠AEO＝60°，∵OD∥AB，∴∠EOD＝60°，

∴的長度為 = .