Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分線，已知∠BAC=∠ACD.

（1）求證：△ABC≌△CDA；

（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形.

Answer 1

證明：（1）∵ AB=AC，∴ ∠B=∠ACB，∴ ∠FAC=∠B+∠ACB=2∠BCA.

∵ AD平分∠FAC，∴ ∠FAC=2∠CAD，∴ ∠CAD=∠ACB.

在△ABC和△CDA中，∠BAC＝∠DCA ，AC＝AC，∠DAC＝∠ACB，

∴ △ABC≌△CDA.

（2）∵ ∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，∴ ∠DAC=∠ACB，∴ AD∥BC.

∵ ∠BAC=∠ACD，∴ AB∥CD，∴ 四邊形ABCD是平行四邊形.

∵ ∠B=60°，AB=AC，∴ △ABC是等邊三角形，

∴ AB=BC，∴ 平行四邊形ABCD是菱形.