Question

【題目】射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動點P從點Q出發，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心， cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上），請寫出t可取的一切值（單位：秒）

Answer 1

【答案】t=2或3≤t≤7或t=8
【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N為BC中點，
∴MN= AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分為三種情況：
①如圖1，

當⊙P切AB于M′時，連接PM′，
則PM′= cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm﹣2cm=2cm，
即t=2；
②如圖2，
當⊙P于AC切于A點時，連接PA，
則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP= cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm﹣1cm=3cm，
即t=3，
當⊙P于AC切于C點時，連接P′C，
則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′= cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即當3≤t≤7時，⊙P和AC邊相切；
③如圖3，

當⊙P切BC于N′時，連接PN′
則PN′= cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
注意：由于對稱性可知，當P點運動到AB右側時也存在⊙P切AB，此時PM也是為2，即P點為N點，同理可得P點在M點時，⊙P切BC．這兩點都在第二種情況運動時間內．
所以答案是：t=2或3≤t≤7或t=8．

【考點精析】利用等邊三角形的性質和切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．