Question

如圖，點D在反比例函數y=

k

x

（k＞0）上，點C在x軸的正半軸上且坐標為（4，0），△ODC是以CO為斜邊的等腰直角三角形．
（1）求反比例函數的解析式；

（2）點B為橫坐標為1的反比例函數圖象上的一點，BA、BE分別垂直x軸和y軸，連接OB，將OABE沿OB折疊，使A點落在點A′處，A′B與y軸交于點F，求OF的長；

（3）直線y=-x+3交x軸于M點，交y軸于N點，點P是雙曲線y=

k

x

（k＞0）上的一動點，PQ⊥x軸于Q點，PR⊥y軸于R點，PQ，PR與直線MN交于H，G兩點．給出下列兩個結論：①△PGH的面積不變；②MG•NH的值不變，其中有且只有一個結論是正確的，請你選擇并證明求值．

Answer 1

分析：（1）由于三角形OCD是等腰直角三角形，不難得出D（2，2），將其代入反比例函數的解析式y=

k

x

（k＞0）中即可求出k的值；
（2）根據折疊的性質不難得出△EBF≌△A'OF，那么A′F=OE-OF，可先求出B點坐標，即可得出OE，OA′的長，如果設OF=x，那么A′F=OE-x，可在直角三角形A′OF中，用勾股定理求出x即OF的長；
（3）根據直線MN的解析式可知：三角形MON是等腰直角三角形，那么∠NMO=45°，如果過G作x軸的垂線，不難得出MG=

2

OP，同理可得出NH=

2

PR，因此MG•NH=2OP•PR，而OP•PR=k（k的值在（1）題已經求出），因此MG•NH的值是不變的．

解答：解：（1）由題可知：D（2，2），
因為點D在反比例函數y=

k

x

（k＞0）上，
所以k=4，
∴y=

4

x

（2）B點的坐標為（1，4），可知△EBF≌△A'OF，
設OF=x，則EF=A'F=4-x，
在直角三角形A′OF中，A′F²+A′O²=OF²，
∴（4-x）²+1=x²
解得：x=

17

8

；

（3）MG•NH的值不變，且值為8．
由y=-x+3得：OM=ON
∴∠OMN=∠ONM=45°
∴MG=

2

PQ，NH=

2

PR
∴MG•NH=2PQ•PR=8．

點評：本題主要考查了反比例函數的應用、等腰三角形的判定和性質等知識點．利用數形結合解決此類問題，是非常有效的方法．