Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點，F是BA延長線上一點，AF＝CE，連接BD，EF，FG平分∠BFE交BD于點G．

（1）求證：△ADF≌△CDE；

（2）求證：DF＝DG；

（3）如圖2，若GH⊥EF于點H，且EH＝FH，設正方形ABCD的邊長為x，GH＝y，求y與x之間的關系式．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3），理由詳見解析.

【解析】

（1）根據SAS即可證明；
（2）欲證明DF=DG，只要證明∠DFG=∠DGF；
（3）如圖2中，作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．連接EG．首先說明G是△BEF的內心，由題意Rt△FGH≌Rt△FGM，Rt△EGH≌Rt△EGN，四邊形GMBN是正方形，推出FH=FM，EH=EN，GN=GM=BM=BN=y，由EH：FH=1：3，設EH=a，則FH=3a，FB=3a+y，BE=a+y，EC=AF，推出FB+BE=2x，可得3a+y+a+y=2x，即y=x-2a，推出CN=2a，推出CE=a，想辦法用a表示x、y即可解決問題；

（1）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠C＝∠BAD＝∠DAF＝90°，CD＝DA，

在△ADF和△CDE中，

∴△ADF≌△CDE．

（2）證明：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠FBG＝45°，

∵△ADF≌△CDE，

∴DF＝DE，∠ADF＝∠CDE，

∴∠EDF＝∠ADC＝90°，

∠DFE＝45°，

∵∠DFG＝45°+∠EFG，∠DGF＝45°+∠GFB，

∵∠EFG＝∠BFG，

∴∠DFG＝∠DGF，

∴DF＝DG．

（3）結論：

理由：如圖2中，作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．連接EG．

∵GF平分∠BAE，DB平分∠EBF，

∴G是△BEF的內心，∵GH⊥EF，

∴GH＝GN＝GM＝y，

∵FG＝FG，EG＝EG，

∴Rt△FGH≌Rt△FGM，Rt△EGH≌Rt△EGN，四邊形GMBN是正方形，

∴FH＝FM，EH＝EN，GN＝GM＝BM＝BN＝y，

∵EH：FH＝1：3，設EH＝a，則FH＝3a，

∵FB＝3a+y，BE＝a+y，

∵EC＝AF，

∴FB+BE＝2x，

∴3a+y+a+y＝2x，

∴y＝x﹣2a，

∴CN＝2a，

∵EN＝EH＝a，

∴CE＝a，

在Rt△DEF中，DE＝2a，

在Rt△DCE中，

∴

∴