Question

在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．

（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；
（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB＝2，求BC的長．

Answer 1

（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據平行四邊形判定推出即可。
（2）

分析：（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據平行四邊形判定推出即可。
（2）求出∠ABE=30°，根據直角三角形性質求出AE、BE，即可求出答案。
解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD。∴∠ABD=∠CDB。
∵在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，
∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB。∴∠ABE=∠CDF。
在△ABE和△CDF中，∵，
∴△ABE≌△CDF（ASA）。∴AE=CF。
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC。
∴DE=BF，DE∥BF。∴四邊形BFDE為平行四邊形。
（2）∵四邊形BFDE為為菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE。
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°。∴∠ABE=30°。
∵∠A=90°，AB=2，∴，。
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=。