Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E.

（1）求證：DC＝DE；
（2）若tan∠CAB＝ ，AB＝3，求BD的長.

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，

∴∠EDA=90°，

∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠EAD，

故∠DCE=∠E，

∴DC=DE

（2）解：設BD=x，則AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，
在Rt△EAD中，∵tan∠CAB= ，
∴ED= AD= （3+x），由（1）知，DC= （3+x），
在Rt△OCD中， ，
則 ，
解得： （舍去）， ，
故BD=1．

【解析】（1）抓住已知條件CD是⊙O的切線，因此連接OC得出∠OCD=90°，證得∠ACO+∠DCE=90°，再根據ED⊥AD，去證明∠EAD+∠E=90°，由OC=OA，得出∠ACO=∠EAD，根據等角的余角相等即可證得結論。
（2）設BD=x，由AB＝3，求出OB的長，表示出OD的長，再在Rt△EAD中，由tan∠CAB的值，可表示出DE的長，即可得到DC的長，然后在Rt△OCD中，利用勾股定理建立關于x的方程，求解即可得出BD的長。