Question

如圖，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N．

（1）當A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點；

（2）將圖1中的△BCE繞點B旋轉，當A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：△ACN為等腰直角三角形；

（3）將圖1中△BCE繞點B旋轉到圖3位置時, 當A，B，M,N在同一直線上時,

(2)中的結論是否仍成立?若成立,試證明之，若不成立，請說明理由．

 

Answer 1

（1）如圖1，證△ADM≌△NEM,可得AM=MN．( 4分 )

（2）如圖2，先證△ADM≌△NEM，∴AD=NE．∴AB=NE．( 4分 )

再證△ABC≌△NEC,∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN為等腰直角三角形．

（3）△ACN仍為等腰直角三角形．( 4分 )

如圖3，∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三點在同一條直線上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已證），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN為等腰直角三角形．( 4分 )