Question

【題目】已知：如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，該拋物線的頂點為M．

（1）求點A、B、C的坐標．

（2）求直線BM的函數解析式．

（3）試說明：∠CBM+∠CMB=90°．

（4）在拋物線上是否存在點P，使直線CP把△BCM分成面積相等的兩部分？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A（﹣1，0），點B（3，0），點C坐標為（0，﹣3）；（2）y=2x﹣6；（3）證明見解析；（4）點P坐標為（，﹣）.

【解析】

（1）根據題意可以直接可求點A、B、C的坐標；

（2）用待定系數法可求解析式；

（3）根據兩點距離公式可求BM，BC，CM的長度，根據勾股定理的逆定理可得∠BCM=90°，即可證：∠CBM+∠CMB=90°；

（4）根據題意可求線段BM中點坐標，即可求直線CP解析式，且點P在拋物線上，可列方程，即可求點P坐標．

（1）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與x軸交于A、B兩點，∴0=x2﹣2x﹣3，∴x1=3，x2=﹣1，∴點A（﹣1，0），點B（3，0）．

∵拋物線y=x2﹣2x﹣3與y軸交于點C，∴當x=0時，y=﹣3，∴點C坐標為（0，﹣3）；

（2）∵拋物線y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴點M（1，﹣4）．

設直線BM的解析式：y=kx+b過點B（3，0），M（1，﹣4），∴

解得：k=2，b=﹣6．

∴直線BM的解析式：y=2x﹣6．

（3）∵點M（1，﹣4），點B（3，0），點C（0，﹣3），∴BC==3

BM==2

CM==

∵BC2+CM2=20，BM2=20，∴BC2+CM2=BM2，∴∠BCM=90°，∴∠CBM+∠CMB=90°．

（4）如圖：設直線CP與BM的交點為F．

∵直線CP把△BCM分成面積相等的兩部分，∴S△CMF=S△BCF．

∵△CMF和△BCF是等高的兩個三角形，∴FM=BF，即點F是BM的中點．

∵點B（3，0），點M（1，﹣4），∴點F坐標為（2，﹣2）．

設直線CP的解析式為y=mx+n，∴

解得：m=，n=﹣3

∴直線CP解析式y=x﹣3．

∵點P是直線CP與拋物線y=x2﹣2x﹣3的交點，∴x﹣3=x2﹣2x﹣3

解得：x1=0（不合題意舍去），x2=．

當x=時，y=﹣2×=﹣，∴點P坐標為（，﹣）．