Question

如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小，此時∠MAN的度數為 °．

Answer 1

40°．

【解析】

試題分析：根據要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″），即可得出答案．

試題解析：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．作DA延長線AH，

∵∠DAB=110°，

∴∠HAA′=70°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，

∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×70°=140°，

∴∠MAN=180°-140°=40°．

考點：軸對稱-最短路線問題．