Question

【題目】在△ABC中，∠A＝40°

（1）如圖1，若兩內角∠ABC、∠ACB的角平分線交于點P，則∠P＝　 　，∠A與∠P之間的數量關系是　 　．為什么有這樣的關系？請證明它；

（2）如圖2，若內角∠ABC、外角∠ACE的角平分線交于點P，則∠P＝　 　，∠A與∠P之間的數量關系是　 　；

（3）如圖3，若兩外角∠EBC、∠FCB的角平分線交于點P，則∠P＝　 　，∠A與∠P之間的數量關系是　 　．

Answer 1

【答案】（1）110°，∠P＝90°+∠A；（2）20°，∠P＝∠A；（3）70°，∠P＝90°﹣∠A，理由見解析

【解析】

（1）根據三角形內角和定理求出∠B和∠C，再根據角平分線的性質和三角形內角和是180°求出∠P＝180°﹣（∠B+∠C）；（2）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和以及叫平分線的性質可求出∠P，可得∠A與∠P之間的數量關系；

（3）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和求得：∠EBC+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，在△BCP中根據角平分線的定義以及三角形內角和定理即可求解．

解：（1）∠ABC+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°

∴（∠ABC+∠C）＝×140°＝70°，

∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝110°．

∠A與∠P之間的數量關系是∠P＝90°+∠A；

（2）∵∠ACE＝∠ABC+∠P，

∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠P，

∴（40°+∠ABC）＝∠ABC+∠P，

∴∠P＝20°．

∠A與∠P之間的數量關系是∠P＝∠A；

（3）∵∠EBC＝∠A+∠ACB，∠BCF＝∠A+∠ABC，

∴∠EBC+∠BCF＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A，

∴∠PBC+∠PCB＝90°+∠A．

又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，

∴90°+∠A+∠P＝180°，即∠P＝90°﹣∠A．