Question

（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）；

（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數量關系？簡單說明理由；

（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：
如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長．

Answer 1

（1）如圖所示：

（2）BE=CD
（3）米

分析：（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，如圖所示，由三角形ABD與三角形ACE都是等邊三角形，得到三對邊相等，兩個角相等，都為60度，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABD與三角形ACE全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證。
（2）BE=CD，理由與（1）同理。
（3）根據（1）、（2）的經驗，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到三角形DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長。
解：（1）完成圖形，如圖所示：

證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°。
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB。
∵在△CAD和△EAB中，，
∴△CAD≌△EAB（SAS）。∴BE=CD。
（2）BE=CD，理由同（1）：
∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°。∴∠CAD=∠EAB。
∵在△CAD和△EAB中，，
∴△CAD≌△EAB（SAS）。∴BE=CD；。
（3）由（1）、（2）的解題經驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
則AD=AB=100米，∠ABD=45°，∴BD=100米。
連接CD，則由（2）可得BE=CD。

∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°。
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100米，
根據勾股定理得：（米）。
∴BE=CD=米。