Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，AB=8cm，AC=4cm，△BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG交于點D，過點D的直線DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.

（1）求證：BE=CF；

（2）求AE的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝6cm.

【解析】

（1）利用角平分線的性質得出DE＝DF，連接BD，CD．利用垂直平分線的性質得出DB＝DC，證得Rt△DCF≌Rt△DBE，得出結論；

（2）易證Rt△AED≌Rt△AFD，可得AE＝AF，結合（1）的結論，利用線段的和與差得出答案即可．

（1）證明：∵點D在∠BAC的平分線上，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF．

連接BD，CD．

∵點D在BC的垂直平分線上，

∴DB＝DC；

在Rt△DCF與Rt△DBE中，，

∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），

∴BE＝CF；

（2）解：∵DE＝DF．

在Rt△AED與Rt△AFD中，，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE＝AF，

∵AB＝8cm，AC＝4cm，BE＝CF，AE＝AF＝AC＋CF，

∴AB＝AE＋BE＝AC＋BE＋CF＝AC＋2BE，

∴BE＝2cm，

∴AE＝ABBE＝6cm．