Question

【題目】如圖，二次函數y=―ax2+2ax+c(a＞0)的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，過A的直線y=kx+2k(k≠0)與這個二次函數圖象交于另一點F，與其對稱軸交于點E，與y軸交于點D，且DE=EF．

（1）求A點坐標；

（2）若△BDF的面積為12，求此二次函數的表達式；

（3）設二次函數圖象頂點為P，連接PF，PC，若∠CPF=2∠DAB，求此二次函數的表達式．

Answer 1

【答案】(1) A(2,0)；(2) y=x+2x+8；(3) y=x+x+4.

【解析】分析：（1）求出一次函數值為0時對應的自變量的值可得到A點坐標；

（2）利用二次函數的性質得到拋物線的對稱軸為直線x=1，則利用對稱性得到B點坐標為（4，0），把A點坐標代入得c=8a，則拋物線解析式為y=﹣ax2+2ax+8a，再根據DE=EF可確定F（2，8a），接著把F（2，8a）代入一次函數得到y=kx+2k得k=2a，所以D（0，4a），然后利用三角形面積公式得到（4+2）8a﹣（4+2）4a=12，于是解方程求出a，從而得到拋物線解析式；

（3）利用拋物線的解析式為y=﹣ax2+2ax+8a得到C（0，8a），P（1，9a），則可判斷CF∥x軸，所以E（1，8a），根據二次函數的對稱性判斷△PCF為等腰三角形，則∠CPF=2∠CPE，于是可證明∠DAB=∠CPE，然后根據相似三角形的判定方法可得到Rt△ADO∽Rt△PCE，再利用相似比可其求出a的值，從而得到拋物線解析式．

詳解：（1）當y=0時，kx+2k=0，解得：x=﹣2，則A（﹣2，0）；

（2）∵二次函數y=﹣ax2+2ax+c（a＞0）的圖象的對稱軸為直線x=﹣=1，∴B點坐標為（4，0），把A（﹣2，0）代入y=﹣ax2+2ax+c得：﹣4a﹣4a+c=0，∴c=8a，∴拋物線解析式為y=﹣ax2+2ax+8a．∵DE=EF，∴F點的橫坐標為2，∴F（2，8a），把F（2，8a）代入y=kx+2k得8a=2k+2k，解得：k=2a，∴y=2ax+4a，當x=0時，y=4a，則D（0，4a）．∵S△BDF=S△FAB﹣S△DAB，∴（4+2）8a﹣（4+2）4a=12，解得：a=1，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+8；

（3）拋物線的解析式表示為y=﹣ax2+2ax+8a，D（0，4a），F（2，8a），當x=0時，y=﹣ax2+2ax+8a=8a，則C（0，8a），當x=1時，y=﹣ax2+2ax+8a=9a，則P（1，9a）．∵F（2，8a），C（0，8a），∴CF∥x軸，E（1，8a），∴△PCF為等腰三角形，∴PE平分∠CPF，即∠CPF=2∠CPE．∵∠CPF=2∠DAB，∴∠DAB=∠CPE，∴Rt△ADO∽Rt△PCE，∴=，即=，解得：a=或a=﹣（舍去），∴拋物線的解析式表示為y=﹣x2+x+4．