Question

【題目】如圖①，將拋物線y＝ax2（﹣1＜a＜0）平移到頂點恰好落在直線y＝x﹣3上，并設此時拋物線頂點的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式（用含a、m的代數式表示）

（2）如圖②，Rt△ABC與拋物線交于A、D、C三點，∠B＝90°，AB∥x軸，AD＝2，BD：BC＝1：2．

①求△ADC的面積（用含a的代數式表示）

②若△ADC的面積為1，當2m﹣1≤x≤2m+1時，y的最大值為﹣3，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝ax2﹣2amx+am2+m﹣3；（2）①﹣；②0或

【解析】

（1）拋物線的頂點在直線y＝x﹣3上，橫坐標為m，則頂點的坐標為（m，m﹣3），即可求解；

（2）①求出點C坐標（m+1+t，a+m﹣3﹣2t），利用點C在拋物線上，則：a+m﹣3﹣2t＝a（m+t+1﹣m）2+m﹣3，求得：t＝﹣，利用S△ADC＝ADCB即可求解；②分m＞2m+1、2m﹣1≤m≤2m+1、m＜2m+1三種情況，求解即可．

解：（1）拋物線的頂點在直線y＝x﹣3上，橫坐標為m，

則頂點的坐標為（m，m﹣3），

則拋物線的表達式為：y＝a（x﹣m）2+m﹣3＝ax2﹣2amx+am2+m﹣3；

（2）①如圖所示，AB∥x軸，AD＝2，

∴點D（m+1，a+m﹣3），

設：BD＝t，

∵BD：BC＝1：2，則BC＝2t，

則點C（m+1+t，a+m﹣3﹣2t），

又點C在拋物線上，

則：a+m﹣3﹣2t＝a（m+t+1﹣m）2+m﹣3，

解得：t＝0（舍去）或﹣，

∴S△ADC＝ADCB＝﹣；

②若△ADC的面積為1，則＝﹣＝1，

解得：a＝﹣；

∴拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣m）2+m﹣3；

當m＞2m+1時，即：m＜﹣1時，

﹣（2m+1﹣m）2+m﹣3＝﹣3，

整理得：4m2+3m+4＝0，

△＝b2﹣4ac＜0，故此方程無實數解；

當2m﹣1≤m≤2m+1時，即：﹣1≤m≤1，

則m﹣3＝﹣3，解得：m＝0；

當m＜2m﹣1時，即：m＞1，

﹣（2m﹣1﹣m）2+m﹣3＝﹣3，

整理并解得：m＝（舍去負值），

故：m的值為：0或．