Question

【題目】如圖，為的直徑，弦，相交于點，且于點，過點作的切線交的延長線于點．

（1）求證：；

（2）若的半徑為5，點是的中點，，寫出求線段長的思路．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）求解思路見解析.

【解析】

（1）連接OC，根據切線定理可知，根據得到，利用同圓半徑相等得到，進而得到，再利用對頂角以及等量代換即可完成.

（2）思路一：①過圓心且點是的中點，由垂徑定理可得，；

②由與互余，與互余可得，從而可知；

③在中，由，可設，，由勾股定

理，得，可解得的值；

④由，可求的長．

思路二：連接，如圖3．

①由是的直徑，可得是直角三角形，知與互余，

又可知與互余，得；

②由，，可得，從而可知；

③在中，由，可設，

由勾股定理，得，可解得的值；

④由，可求的長．

（1）證明：連接，如圖1．

∵是的切線，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴．

（2）求解思路如下：

思路一：連接，如圖2．

①過圓心且點是的中點，由垂徑定理可得，；

②由與互余，與互余可得，從而可知；

③在中，由，可設，，由勾股定理，得，可解得的值；

④由，可求的長．

思路二：連接，如圖3．

①由是的直徑，可得是直角三角形，知與互余，

又可知與互余，得；

②由，，可得，從而可知；

③在中，由，可設，

由勾股定理，得，可解得的值；

④由，可求的長．