Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，點E、F分別在線段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延長線交邊BC于點G，AF交BD于點N、其延長線交BC的延長線于點H．

（1）求證：BG＝CH；

（2）設AD＝x，△ADN的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；

（3）聯結FG，當△HFG與△ADN相似時，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）當△HFG與△ADN相似時，AD的長為3或．

【解析】

（1）由AD∥BC知，，結合DB＝DC＝15，DE＝DF＝5知，從而得，據此可得答案；

（2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP＝CP＝9，DP＝12，由知BG＝CH＝2x，BH＝18+2x，根據得，即，再根據知，由三角形的面積公式可得答案；

（3）分∠ADN＝∠FGH和∠ADN＝∠GFH兩種情況分別求解可得．

（1）∵AD∥BC，

∴，．

∵DB＝DC＝15，DE＝DF＝5，

∴，

∴．

∴BG＝CH．

（2）過點D作DP⊥BC，過點N作NQ⊥AD，垂足分別為點P、Q．

∵DB＝DC＝15，BC＝18，

∴BP＝CP＝9，DP＝12．

∵，

∴BG＝CH＝2x，

∴BH＝18+2x．

∵AD∥BC，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵AD∥BC，

∴∠ADN＝∠DBC，

∴sin∠ADN＝sin∠DBC，

∴，

∴．

∴ （0<x≤9）．

（3）∵AD∥BC，

∴∠DAN＝∠FHG．

（i）當∠ADN＝∠FGH時，

∵∠ADN＝∠DBC，

∴∠DBC＝∠FGH，

∴BD∥FG，

∴，

∴，

∴BG＝6，

∴AD＝3．

（ii）當∠ADN＝∠GFH時，

∵∠ADN＝∠DBC＝∠DCB，

又∵∠AND＝∠FGH，

∴△ADN∽△FCG．

∴，

∴，整理得x2﹣3x﹣29＝0，

解得，或（舍去）．

綜上所述，當△HFG與△ADN相似時，AD的長為3或．