Question

【題目】如圖，在△ABC和△ABD中，∠BAC=∠ABD=90°，點E為AD邊上的一點，且AC=AE，連接CE交AB于點G，過點A作AF⊥AD交CE于點F.

(1)求證：△AGE≌△AFC；

(2)若AB=AC，求證：AD=AF+BD.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)由AF⊥AD，∠CAB=90°，可得∠CAF=∠EAG，由AC=AE，可得∠ACF=∠AEG，根據AAS即可證明結論；

(2)如圖，在AD上截取AH=AE，交CE于點M，證明△CAF≌△BAH，從而可得∠ABH=∠ACF，繼而可得∠MGB+∠ABH=90°，從而可得∠MHE+∠HEM=90°，再根據∠ACF=∠HEM，∠ABH+∠HBD=90°，可得到∠MHE=∠HBD，從而可得HD=BD，再根據AD=AH+DH，即可求得答案.

(1)∵AF⊥AD，

∴∠FAE=90°，

∵∠CAB=90°，

∴∠CAB-∠FAB=∠FAE-∠FAB，

即∠CAF=∠EAG，

∵AC=AE，

∴∠ACF=∠AEG，

∴△AGE≌△AFC(AAS)；

(2)如圖，在AD上截取AH=AE，交CE于點M，

又∵∠CAF=∠BAH，AC=BC，

∴△CAF≌△BAH(SAS)，

∴∠ABH=∠ACF，

∵∠CGA=∠MGB，∠ACF+∠CGA=90°，

∴∠MGB+∠ABH=90°，

∴∠BMG=90°，

∴∠HME=∠BMG=90°，

∴∠MHE+∠HEM=90°，

又∵∠ACF=∠HEM，∠ABH+∠HBD=90°，

∴∠MHE=∠HBD，

∴HD=BD，

∵AD=AH+DH，

∴AD=AF+BD.