Question

【題目】觀察、猜想、探究：

在中，．

如圖，當，AD為的角平分線時，求證：；

如圖，當，AD為的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；

如圖，當AD為的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) AB=CD+AC ,理由見解析;(3) B=CD-AC,理由見解析.

【解析】

(1)過D作DE⊥AB，交AB于點E，理由角平分線性質得到ED=CD，利用HL得到直角三角形AED與直角三角形ACD全等，由全等三角形的對應邊相等，對應角相等，得到AE=AC，∠AED=∠ACB，由∠ACB=2∠B，利用等量代換及外角性質得到一對角相等，利用等角對等邊得到BE=DE，由AB=AE+EB，等量代換即可得證；

(2)AB=CD+AC，理由為：在AB上截取AG=AC，如圖2所示，由角平分線定義得到一對角相等，再由AD=AD，利用SAS得到三角形AGD與三角形ACD全等，接下來同(1)即可得證；

(3)AB=CD-AC，理由為：在AF上截取AG=AC，如圖3所示，同(2)即可得證．

過D作，交AB于點E，如圖1所示，

為的平分線，，，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

又，

，

，

則；

，理由為：

在AB上截取，如圖2所示，

為的平分線，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

又，

，

，

則；

，理由為：

在AF上截取，如圖3所示，

為的平分線，

，

在和中，

，

≌，

，，即，

，

，

又，

，

.