Question

（2010•高淳縣二模）如圖，二次函數y=ax²-2ax+的圖象與x軸交于A、B二點，與y軸交于C點．拋物的頂點為E（1，2），D為拋物線上一點，且CD∥x軸．
（1）求此二次函數的關系式；
（2）寫出A、B、C、D四點的坐標；
（3）若點F在拋物線的對稱軸上，點G在拋物線上，且以A、B、F、G四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點E的坐標代入拋物線的解析式中，即可求得a的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）根據拋物線的解析式，易知點C的坐標為：（0，），由于C、D關于拋物線的對稱軸對稱，進而可得到點D的坐標；令拋物線的解析式中y=0，通過解方程即可求出點A、B的坐標．
（3）此題應該分兩種情況考慮：
①當點G在x軸上方時，此時平行四邊形以AB為對角線，由于點F在拋物線對稱軸上，因此點G也必在拋物線的對稱軸上，即此時點G與拋物線頂點E重合，由此求得點G的坐標；
②當點G在x軸下方時，此時平行四邊形以AB為邊，根據平行四邊形對邊平行且相等可知FG=AB=4，由此可根據拋物線對稱軸得到G點的橫坐標，然后代入拋物線的解析式中即可得到點G的坐標．
解答：解：（1）把（1，2）代入y=ax²-2ax+得：
2=a-2a+，（1分）a=-，
∴二次函數的關系式為y=-x²+x+．（2分）

（2）由拋物線的解析式知：C（0，），
由于CD∥x軸，則C、D關于x=1對稱，
故D（2，）；
拋物線的解析式中，當y=0時，-x²+x+=0，
解得x=-1，x=3；
故A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）、D（2，）．（6分）

（3）①當點G在x軸上方時，此時平行四邊形以AB為對角線；
由于點F在拋物線對稱軸上，則點G也在拋物線的對稱軸上，即G、E重合，
故點G₁坐標為（1，2）；（8分）
②當點G在x軸下方時，由題意知AB=GF=4，得點G的橫坐標x=-3或5，（9分）
把x=-3或5代入y=-x²+x+，得y=-6，（10分）
點G₂坐標為（-3，-6），點G₃坐標為（5，-6）．（12分）
綜上可知，點G的坐標為：G₁（1，2）、G₂（-3，-6），G₃（5，-6）．
綜上所述點G坐標為（1，2），（-3，-6）或（5，-6）．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象上點的坐標意義、平行四邊形的判定和性質等知識，要注意的是（3）題中，一定要根據AB在平行四邊形中的不同位置來分類討論，以免漏解．