Question

（2013•婁底）如圖，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F分別在AB、AC上，AD交EF于點H．
（1）求證：

AH

AD

=

EF

BC

；
（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求出最大面積；
（3）當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線DA勻速向上運動（當矩形的邊PQ到達A點時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由相似三角形，列出比例關系式，即可證明；
（2）首先求出矩形EFPQ面積的表達式，然后利用二次函數求其最大面積；
（3）本問是運動型問題，要點是弄清矩形EFPQ的運動過程：
（I）當0≤t≤2時，如答圖①所示，此時重疊部分是一個矩形和一個梯形；
（II）當2＜t≤4時，如答圖②所示，此時重疊部分是一個三角形．

解答：（1）證明：∵矩形EFPQ，
∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴

AH

AD

=

AF

AC

，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴

EF

BC

=

AF

AC

，
∴

AH

AD

=

EF

BC

．

（2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC-BD=5-4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴

AH

AD

=

EH

BD

，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴

AH

AD

=

HF

CD

，
∴

EH

BD

=

HF

CD

，即

EH

4

=

HF

1

，∴EH=4HF，
已知EF=x，則EH=

4

5

x．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-

4

5

x．
S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4-

4

5

x）=-

4

5

x²+4x=-

4

5

（x-

5

2

）²+5，
∴當x=

5

2

時，矩形EFPQ的面積最大，最大面積為5．

（3）解：由（2）可知，當矩形EFPQ的面積最大時，矩形的長為

5

2

，寬為4-

4

5

×

5

2

=2．
在矩形EFPQ沿射線AD的運動過程中：
（I）當0≤t≤2時，如答圖①所示．

設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD分別交于點H₁，D₁．
此時DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD-DD₁=2-t，HH₁=H₁D₁-HD₁=t，AH₁=AH-HH₁=2-t，．
∵KN∥EF，∴

KN

EF

=

AH1

AH

，即

KN

5 2

=

2-t

2

，得KN=

5

4

（2-t）．
S=S_梯形KNFE+S_矩形EFP1Q1
=

1

2

（KN+EF）•HH₁+EF•EQ₁
=

1

2

[

5

4

（2-t）+

5

2

]×t+

5

2

（2-t）
=-

5

8

t²+5；
（II）當2＜t≤4時，如答圖②所示．

設矩形與AB、AC分別交于點K、N，與AD交于點D₂．
此時DD₂=t，AD₂=AD-DD₂=4-t，
∵KN∥EF，∴

KN

EF

=

AD2

AH

，即

KN

5 2

=

4-t

2

，得KN=5-

5

4

t．
S=S_△AKN
=

1

2

KN•AD₂
=

1

2

（5-

5

4

t）（4-t）
=

5

8

t²-5t+10．
綜上所述，S與t的函數關系式為：
S=

- 5 8 t2+5(0≤t≤2) 5 8 t2-5t+10(2＜t≤4)

．

點評：本題是運動型相似三角形壓軸題，考查了相似三角形的判定與性質、二次函數的表達式與最值、矩形、等腰直角三角形等多個知識點，涉及考點較多，有一定的難度．難點在于第（3）問，弄清矩形的運動過程是解題的關鍵．